Résumé : les développements décimaux de certaines fractions comme 1/89 contiennent autant de termes que l'on veut de la suite de Fibonacci !

Le calculateur de la période décimale d'une fraction (que j'ai créé) ci-dessous :

Souvenons-nous que par définition de la suite de Fibonacci c'est-à-dire

Soit alors la somme

Formons maintenant S/10 :

Et faisons la différence :
on constate que

et donc

La question qui se pose naturellement est : en utilisant le même procédé, peut on obtenir autant de termes de la suite de Fibonacci que l'on veut ? La réponse est oui !

On considère cette fois la somme

et par le même raisonnement on arrive à

Pour n=1, on retrouve
pour n=2, on a
pour par exemple n=4, on a et même si le résultat est un nombre décimal de période 16090340 (!), ses premiers chiffres après la virgule sont :

Et on y retrouve les 19 premiers termes de la suite de Fibonacci ! Le dernier correct est F19=4181, en effet F20 = 6765 et les 4 chiffres suivant de la fraction sont 6766, soit 1 de plus. C'est parce que F21 = 10946, et est donc plus grand que 10000.

soit

donc
On soustrait :

et donc ,et finalement .

On pouvait retrouver le même résultat avec une fonction génératrice :

soit . Comme , et , on a :
En remplaçant on obtient
et donc
Il suffit ensuite de choisir z=1/2 : F(1/2) = 2.

Attention ceci prouve que si la somme converge, elle converge vers . Mais il faut aussi prouver la convergence. Pour cela il suffit de montrer que 1/2 est plus petit que le module du plus petit pôle de F(z), solution de . C'est le cas, en effet :

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